单射和满射的区别，自然数和偶数哪个更多？
有人会觉得自然数比偶数多，因为偶数是自然数的子集；有人会觉得偶数比自然数多，因为他们的"和"比自然数的"和"要大。
这取决于"多"这个概念是怎么定义的。
集合论中，一个集合比另一个集合多定义为
- 存在第一个集合到第二个集合的满射且不存在它们之间的一一映射
这个定义的合理性由以下事实保证
- 存在集合A到集合B的满射 等价于 存在B到A的单射（由选择公理引出）称 集合A的元素比B的多或一样多，即大于等于
- 存在A到B的满射，且存在B到A的满射，那么就存在A到B的一一映射 称A和B元素一样多（康托定理）
- 任意两个集合可较（由选择公理引出）
函数单射双射满射怎么判断？
函数单射（injective）当且仅当不同的自变量对应不同的因变量；函数满射（surjective）
当且仅当对于每个因变量，都至少存在一个自变量与之对应；函数双射（bijective）当且仅当既是单射又是满射。可以通过证明定义来判断函数是否单射、满射或双射。
2建立一一对应吗？
（刚刚看了 @数学救火队长 的回答，深受感染，小石头也谈点自己的看法！）
所谓一一对应，就是双射。关于 双射（既是单射又是满射）的定义 和 如何用定义 判定 映射 y = x² 在 集合 [0, 2] 上是双射，@数学救火队长 已经讲的非常清晰明了了，小石头这里就不再重述，下面仅仅补充一些其它判别方法。
相关知识：
对于 任意 映射 f: A → B，如果存在 g: B → A 使得，
g∘f = idᴀ 且 f∘g = idʙ
则 称 f 是 可逆映射，记 f⁻¹ = g 称为 f 的逆映射。
其中，∘ 为 映射的复合运算，定义为：
(g∘f)(x) = g(f(x))
idᴀ（idʙ） 是 A（B）上的 横的映射，定义为：
idᴀ(x) = x, x∈ A（idʙ(x) = x, x∈ B）
双射判别法2：可逆映射 一定是 双射。
就 映射 y = x²: A = [0, 2] → B = [0, 4] 来说，显然 存在 z = √x: B → A 使得
z∘y = z(y(x)) = √(x²) = x = idᴀ
y∘z = y(z(x)) = (√x)² = x = idʙ
于是，y 可逆，根据 双射判别法2，y 是 双射。
这里的相关知识后来被引入到《范畴论》中，大家有兴趣可以 参考我在这里：“数学范畴是什么？”的回答。
@数学救火队长 已经证明了，y 在 A 到 B 上 是 满的，接下来我们用另外一种方法证明 y 是 单的。
因为，y(0) = 0² = 0，而 如果存在 x₀ 使得 y(x₀) = x₀² = 0，则 x₀ = √0 = 0，于是 0 和 0 在 y 下一一对应。因此 我们只需要 证明 y 在 A~ = (0, 2) 到 B~ = (0, 4) 下是 单射 就可以了。又因为 A~, B~ ⊂ R₊ = (0, +∞)，所以 我们只要证明，y 在 R₊ 上是单射，就行了。
相关知识：
对于 R₊ 中 任意 两个 正实数 a, b，我们观察，它们的积 a⋅b 一定也是 正实数，于是 a⋅b 仍然 属于 R₊，这称为 R₊ 对于 乘法运算 封闭，我们将 R₊ 和 乘法运算 放在一起，记为 ( R₊, ⋅)，称为 群。
如果 群 ( R₊, ⋅) 上 的函数 f: R₊ → R₊ 可以保持 乘法运算，即，
f(a⋅b) = f(a)⋅f(b)
则称 f 为 群同态。
定义集合：
ker f = {x ∈ R₊ | f(x) = 1}
称为 同态核。
单射判别法2： 如果 群同态 f 的 同态核 ker f = {1}，则 f 必然是 单射。
首先，因为，
y(a⋅b) = (a⋅b)² = a²⋅b² = y(a)⋅y(b)
所以，y 是群同态。
其次，因为，
y(1) = 1² = 1
所以，
1 ∈ ker y
其实，我们可以证明 对于任意 群同态 f，1 一定属于 ker f。
再次，如果存在 x₁ ∈ ker y，则，
y(x₁) = x₁² = 1
于是，
x₁ = ±1
而 x₁ ∈ R₊ 是正整数，故
x₁ = 1
这就证明了：
ker y = {1}
于是，根据 单射判别法2，y 一定是 单射。
还有一个判断 y 是单射的方法。
相关知识：
如果 实函数 f 在 对于 区间 [a, b] 上 任意一点 x₀，都有：
则称 f 在区间 [a, b] 上 连续。
对于 区间 [a, b] 上任意 两点 x₁ < x₂，恒有，
f(x₁) < f(x₂) 或 f(x₁) > f(x₂)
则 称 f 在 区间 [a, b] 上 ，单调递增函数 或 单调递减函数。单调递增函数 和 单调递减函数，统称为 单调函数。
对于 在 区间 [a, b] 上 连续，则 区间 (a, b) 上 可导 的 实函数 f，对于任意 x ∈ (a, b)，如果恒有，
f(x) > 0 或 f(x) < 0
则 f 在 区间 [a, b] 上 是 单调递增函数 或 单调递减函数。
单射判别法3： 单调函数 一定是单射。
首先，根据极限的 ε-δ语言 定义，我们不难 证明：对于 任意 x₀ ∈ [0, 2]，有，
lim_{x → x₀} y = lim_{x → x₀} x² = x₀²
这说明，y 在 区间 [0, 2] 连续。
而 y' = (x²)' = 2x，对于 x ∈ (0, 2) 恒有 y'(x) > 0，故 y 在 [0, 2] 是 单调递增函数，根据 单射判别法3，y 是单射。
（最后，推点私货，希望条友们不要讨厌！）
下面是 单射 和 满射 的另外一种 定义。
我们将，R 中的 全体 闭区间 这些闭区间 之间的 全体映射，以及上面定义的映射的复合运算，放在一起 称为 一个范畴，这里记为 R。
给定 范畴 R 中的 任意 映射 f: A → B，
如果 对于 R 中 的任意 闭区间 C，以及 任意 映射 g, h: C → A，都有 f∘g = f∘h ⇒ g = h（f 满足 左消去律），则称 f 为 单射。
如果 对于 R 中 的任意 闭区间 C，以及 任意 映射 g, h: B → C，都有 g∘f = h∘f ⇒ g = h（f 满足 右消去律），则称 f 为 满射。
注意：
可以验证 这个新定义 和 @数学救火队长 给出的原定义，相互兼容。
实际上，《范畴论》中，我们称 闭区间为 对象，映射 为态射（或 箭头），相应的，单射 和 满射 分别被称为 单态射 和 满态射。
现在 看 映射 y = x²: A = [0, 2] → B = [0, 4]；对于 映射 g, h: C → A，如果 y∘g = y∘h，则，
y(g(x)) = g²(x) = h²(x) = y(h(x))
g(x) = √(h²(x)) = ±|h(x)|
因为 g(x), h(x) ∈ A = [0, 2]，所以 g(x), h(x) ≥ 0，故 |h(x)| = h(x)，g(x) 取正，即，
g(x) = h(x)，x ∈ C
得到 g = h，这说明 y 满足 左消去律，y 是 单射。
另一方面，对于 任意 映射 g, h: B → C，如果 g∘y = h∘y ，则，
g(y(x)) = g(x²) = h(x²) = h(y(x))
令，w = x²，则：
g(w) = h(w)
如果，y 是满射，则 w 取满 B = [0, 4]，也就是说，对于任意 w ∈ B，上面等式都成立，得到 g = h ，故 y 满足 右消去律。
（小石头才疏学浅，目前能想到的就这些了，欢迎大家继续补充！）
（回答题主在评论区提的另一个问题）
我们知道，随机变量 X 服从 均匀分布 U(0, 2) 的 概率密度函数为 ：
于是可以得到 X 概率分布函数为：
现在考虑 随机变量函数 Y = X² （注：随机变量函数依然是随机变量）。
首先，Y 不可能 小于 0，故 在 y < 0 时，Y 的 概率分布函数为：
Fᵧ(y) = 0
其次，在 y ≥ 0 时，Y 的 概率分布函数为：
根据前面 Fᵪ 的定义，有：
因为 -√y ≤ 0，所以 Fᵪ(-√y) = 0；
当 2 ≤ √y，即，2² = 4 ≤ y 时，Fᵪ(√y) = 1；
当 0 < √y < 2，即，0 < y < 4 时，Fᵪ(√y) = √y/2；
当 √y ≤ 0，即，y = 0 时， Fᵪ(√y) = 0
最后，综上，我们得到 Y 的 概率分布函数为：
从而 可以得到 Y 的 概率密度函数为：
另一方面，随机变量 Ȳ 服从 均匀分布 U(0, 4) 的 概率密度函数 和 概率分布函数 为：
显然，Y ≠ Ȳ，Y 不服从 均匀分布 U(0, 4)，Y 和 Ȳ 不是一回事。
进而，根据 Y 和 Ȳ 概率分布函数，得到：
Fᵧ(1) = √1/2 = 1/2
F_ Ȳ(1) = 1/4 = 1/4
因为，Y ≠ Ȳ 所以 Fᵧ(1) = 1/2 ≠ 1/4 = F_ Ȳ(1) 很合理。
为什么一一映射有反函数？
举例来说吧 A = { 1 ,2 ,3 ,4 }, B = { 2 ,4 ,6 , 8 , 9 } ,从A到B的映射f ：2x 。 可看出，A中的所有元素在f的作用下，在B中都有元素与之对应，即都有它们的象； 反过来，不成立，B中有的元素在A中就没有它的原象。 这样，从A到 B是单射，不能构成一一映射，也就不是满射。 你的例子：y=2x+1，x∈[1,2]，其值域是[3,5],但是若Y=[0,10] 没有反函数，因为它不是满射。
满射单射双射可以怎么样来说明？
说明如下
单射就是只能一对一，不能多对一满射只要Y中的元素在X中都能找到原像就行了(一对一，多对一都行).双射就是既是单射又是满射(一个对一个,每个都不漏掉).f:z-z f(x)=3x;单射 f; z-n; f(x)=|x|+1; 满射f r-r; f(x)=x^3+1;单射f;n*n-n; f(x1,x2)=x1+x2+1；满射f;n-n*n, f(x)=(x,x+1),单射